Задачи на четность

Четные числа - это те, которые делятся на 2 без остатка (например, 2, 4, 6 и т.п.). Каждое такое число можно записать в виде 2*K, подобрав подходящее целое K (например, 4 = 2 х 2, 6 = 2 х 3, и т.д.).

Нечетные числа - это те, которые при делении на 2 дают в остатке 1 (например, 1, 3, 5 и т.п.). Каждое такое число можно записать в виде 2*K + 1, подобрав подходящее целое K (например, 3 = 2 х 1 + 1, 5 = 2 х 2 + 1, и т.д.).

Сложение и вычитание:

Чётное ± Чётное = Чётное

Чётное ± Нечётное = Нечётное

Нечётное ± Чётное = Нечётное

Нечётное ± Нечётное = Чётное

Умножение:

Чётное × Чётное = Чётное

Чётное × Нечётное = Чётное

Нечётное × Нечётное = Нечётное

Рассмотрим также свойства четных и нечетных чисел, важные для решения задач.

1. Если хотя бы один множитель произведения двух (или нескольких) чисел четен, то и все произведение четно.

2. Если каждый множитель произведения двух (или нескольких) чисел нечетен, то и все произведение нечетно.

3. Сумма любого количества четных чисел — число четное.

4. Сумма четного и нечетного чисел — число нечетное.

5. Сумма любого количества нечетных чисел — число четное, если число слагаемых четно, и нечетное, если число слагаемых нечетно.

В справедливости этих свойств мы убедимся при решении задач.

Примеры решений:

Задача 1. В магазин "Все для собак и кошек" привезли новые игрушки. Могут ли десять игрушек ценой в 3, 5 или 7 рублей стоить в сумме 53 рубля?

        Решение.Сумма четного количества нечетных чисел четна. У нас есть 10 чисел (цена одной игрушки), все они нечетные, значит их сумма должна быть четна. Но 53 - число нечетное, поэтому получить его в виде суммы 10 нечетных чисел нельзя.

Задача 2.Хозяйка купила общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровала все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Щенок Антошка выгрыз из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990?

         Решение:На каждом листе сумма номеров страниц нечетна, а сумма 25 нечетных чисел – нечетна.

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1. У Антоши было 5 плиток шоколада . Может ли Антоша, поделив каждую плитку на 9, 15 или 25 кусочков, получить всего 100 кусков шоколада?

Задача 2. На плоскости расположено 9 шестеренок, соединенных по цепочке (первая со второй, вторая с третьей ... 9-я с первой). Могут ли они вращаться одновременно?

Задача 3. Четна или нечетна сумма всех натуральных чисел от 1 до 17?

Задача 4. В пятиэтажном доме с четырьмя подъездами подсчитали число жителей на каждом этаже и, кроме того, в каждом подъезде. Могут ли все полученные 9 чисел быть нечетными?

Задача 5. Четно или нечетно произведение (7а + b - 2с + 1)(3а – 5b + 4с + 10), где числа a, b, с — целые?

Задача 7. Щенок Антошка нацарапал на доске: 1*2*3*4*5*6*7*8*9 = 33, причем вместо каждой звездочки он поставил либо плюс, либо минус. Филя переправил несколько знаков на противоположные и в результате вместо числа 33 получил число 32. Верно ли, что по меньшей мере один из щенков ошибся при подсчете?